rangkuman kalkulus

PERSIAPAN 1

0.1  Bilangan Real, Estimasi, dan Logika

Dasar dari kalkulus adalah system bilangan real dan sifat-sifatnya.

Bilangan Bulat dan Rasional bilangan paling sederhana di anatara semuanya adalah bilangan asli (natural number),

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

Jika kita menyertakan negative dari bilangan asli dan nol, kita memperoleh bilangan bulat (integar)

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Untuk mengukur panjang, berat, atau volume, bilangan bulat saja tidaklah cukup. Jarak antara bilangan bulat terlampau renggang sehingga ketelitiannya (precision) kurang. Oleh katrnanya kita perlu meninjau hasil bagi (rasio atau kuosien) bilangan bulat (Gambar 1), yaitu bilangan seperti.

3/4 , /8  ,  21/5 , 19/(-2) , 16/2 , dan (-17)/1

 Bilangan Real  dapat dipandang sebagai label (penanda) untuk titik-titik di sepanjang sebuah garis mendatar. Di sana bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan atau kekiri (jarak berarah) dari suatu titik tetap yang disebut titi asal (origin) dan diberi label 0. Bilangan ini disebut koordinat dari titik tersebut, dan garis koordinat yang dihasilkan disebut sebagai garis real.

Decimal Berulang dan tak Berubah setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai decimal, karena sesuai definisi bilangan rasional selalu dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat; jika kita membagi pembilang dengan penyebut, kita memperoleh decimal. Sebagai contoh,

1/2 = 0,5   3/8 = 0,375   3/7 = 0,428571428571428571

Bilangan irasional juga dapat dinyatakan sebagai decimal, sebagai contoh,

√2  = 1,4142135623 …,    = 3,1415926535

Decimal berakhir dapat dipandang sebagai decimal berulang dengan perulangan nol. Sebagai contoh,

3/(8 ) = 0,375 = 0,3750000

Jadi, setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai decimal berulang. Dengan lain, jika x adalah bilangan rasional, maka x dapat dituliskan sebagai sebuah decimal berulang .

CONTOH 1 :

 (Desimal berulang adalah bilangan rasional) Perhatikan bahwa x = 0,136136136 … adalah bilangan rasional.

PENYELESAIAN :  kita kurangkan x dari 1000x, dan kemudian menghitung x.

1000x = 136,136136 …

       X =      0,136136 …

 999x  = 136

       X = 136/999

Estimasi  ketika menghadapi soal hitungan yang rumit, mahasiswa yang ceroboh mungkin akan menekan dengan cepat beberapa tombol kalkulator dan langsung menuliskan jawabannya, tanpa menyadari tanda kurung hilang atau jari salah tekan bisa memberikan hasil yang salah. Mahasiswa yang teliti dan memiliki rasa bilangan yang tinggi akan hasilnya terlalu besar atau terlalu kecil, dan menghitung ulang dengan benar. Kita juga harus tahu bagaimnana melakukan diluar kepala.

CONTOH 2 : Hitung ( 430 + 72 + 7,5 )/2,75.

PENYELESAIAN :

Mahasiswa yang bijak akan mengaproksimasikan ini sebagai ( 20 + 72 + 2)/3 dan mengatakan bahwa jawaban seharusnya berada disekitar 30. Jadi, ketika kalkulatornya memberikan jawaban 93,448, dia curiga (dan yang dia hitung ternyata adalah (√430 + 72 + ∛7,5 / 2,75 ). Setelah menghitung ulang dia mendapatkan jawaban yang benar : 34,43.

Sedikit tentang Logika Hasil-hasil penting dalam matematika disebut teorema. Beberapa yang terpenting diberi label Teorema dan biasanya diberi nama (misalnya Teorema Pythagoras). Yang lainnya muncul dalam soal-soal dan didahului dengan kata-kata perlihatkan bahwa atau buktikan bahwa. Berlawanan dengan aksioma atau definisi, yang diterima begiyu saja, teorema memerlukan pembuktian.

Negasi  dari pernyataan P dituliskan  ~P  . misalnya, jika P adalah pernyataan “Hari hujan”, maka                                                          

 ~P adalah pernyataan “Hari tidak hujan”. Pernyataan    Q => ~P  dinamakan Kontraposisi dari pernyataan P => Q dan pernyataan ini setara terhadap P => Q. yang dimaksud dengan setara adalah P => Q dan ~P => ~P    bersifat keduanya benar atau keduanya salah. Untuk contoh, kontrapositif dari “Jika Adi orang Maluku, maka Adi adalah orang Indonesia adalah “Jika Adi bukan orang maluku maka Adi bukan orang Indonesia.

 

       0.2    Pertidaksamaan Dan Nilai mutlak

         Menyelesaikan  suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan tersebut berlaku. Ada macam-macam interval yaitu interval terbuka yang terdiri dari semua bilangan antara a dan b, tidak termasuk titik-titik ujung a dan b. kita menyatakan interval ini dengan lambang (a,b) sebaliknya pertidaksamaan  a <x< b berarti interval tertutup yang berkorespondensi, yang mencakup titik-titik ujung a dan b. ini dinyatakan oleh [a,b]. menyelesaikan pertidaksamaan adalah mengubah pertidaksamaan satu langkah tiap kali sampai himpunan pemecahannya.

      1.     Kita dapat menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas suatu pertidaksamaan.

      2.     Kita dapat mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan positif.

3.     Kita dapat mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan negatif, tetapi kemudian kita harus membalikan arah dari tanda pertidaksamaannya.

   Pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak jika |x|< 3, maka jarak antara x dengan titik asal harus lebih kecil dari 3. Dengan perkataan lain x haruslah secara simultan lebih kecil dari 3 dan lebih besar dari -3 : yaitu < X < 3. Sebaliknya jika |x| > 3, maka jarak antara x dengan titik asal haruslah paling sedikit 3. Hal ini dapat terjadi jika x > atau  x<-3.

 

0.3     Sistem Koordinat Rektanguler

          Rumus jarak bermodalkan pemahaman tentang koordinat kita akan berkenalan dengan sebuah rumus sederhana untuk jarak antara dua titik pada bidang ini di dasarkan pada Teorema Pythagoras yang mengatakan jika a dan b adalah panjang dari kedua kaki sebuah segitiga siki-siku dan c adalah sisi miringnya.

       Persamaan garis tegak garis-garis tegak (vertical) tidak cocok dalam pembahasan di atas karena konsep kemiringan tidak di definisikan untuk mereka. Tetapi garis tegak tetap mempunyai persamaan, yang sangat sederhana. Bentuk Ax + By +c = 0 termasuk garis tegak.

Contoh : y-2 = -4 (x=2)

                 Y=5x-2

                 X = 2

Dapat di tulis ulang dengan memindahkan semuanya keruas kiri sebagai berikut :

4x+y+6=0

-5x+y+2=0

X+0y-5=0

Garis – garis sejajar dua garis yang tidak mempunyai titik potong disebut sejajar misalnya, garis-garis dengan persamaan  y=2x+2 dan y=2x+5 adalah sejajar karena untuk setiap nilai x, garis kedua adalah tiga satuan di atas yang pertama demikian pula,garis-garis dengan persamaan -2x+3y+12=0 dan 4x-65=5 adalah  sejajar.

  0.4    Grafik Persamaan

                  Grafik persamaan dalam x dan y terdiri atas titik-titik di bidang yang koordinat-koordinat (x,y) memenuhi persamaan yakni membuat suatu identitas yang benar.

Prosedur penggambaran grafik untuk menggambarkan suatu persamaan, misalnya  y= 2x-x+19. Kita dapat mengikuti prosedur tiga langkah sederhana:

Langkah 1 : dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaan.

Langkah  2 : plotlah titik-titik tersebut pada bidang.

Langkah  3 : hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus. 

0.5   Fungsi Dan Grafiknya

            

                Sebuah fungsi adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, ang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil. (range) fungsi. Banyaknya suatu  fungsi  sebagai sebuah mesin yang mengambil sebagai inputnya sebuah nilai x menghasilkan output f(x). setiap nilai input di cocokkan dengan nilai output tunggal, tetapi dapat terjadi bahwa beberapa nilai input yang berlainan memberikan nilai output yang sama.

Daerah asal dan daerah hasil untuk menyebutkan suatu fungsi secara lengkap kita harus menyatakan, selain aturan korespondensi daerah asal fungsi tersebut. Misalnya f adalah fungsi yang di definisikan oleh f(x) = x2 + 1 dengan daerah asal {-1,0,1,2,3}. Maka daerah hasil adalah { 1,2,5,10}.

BAB 1

LIMIT

1.1   Pendahuluan Limit

Kalkulus adalah studi tentang limit

Masalah yang Mengarah ke Konsep Limit konsep limit adalah pusat dalam banyak masalah di fisika, rekayasa, dan ilmu social.

Kecepatan =

Archimedes mampu menemukan luas daerah dari poligon beraturan dengan n sisi, dan dengan mengambil poligon beraturan yang sisinya semakin banyak, dia mampu mengaproksimasi luas sebuah lingkaran sampai tingkat keakuratan yang diinginkan.

Pemahaman Secara Intuisi Tinjau fungsi yang ditentukan oleh rumus

f(x)=

Definisi  Makna Limit secara Intuisi:

Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa ketika x tetapi berlainan dari c, maka f(x) dakat ke L.

Contoh 1:

Carilah

PENYELESAIAN: Ketika x dekat 3; maka 4x-5 dekat terhadap  4 . 5 – 5 = 7. Kita tuliskan

 = 7

Definisi Limit Kiri dan Limit Kanan

Untuk mengatakan bahwa  = L berarti  bahwa ketika x dekat dari sebelah kanan c, mak f(x) dekat ke-L. Demikian pula, untuk mengatakan bahwa  berarti bahwa ketika x dekat tetepi pada sebelah kiri c, maka f(x) adalah dekat ke-L.

Teorema C

Jika f(x) = g(x) untuk semua x didalam satu interval terbuka yang mengandung bilangan c, terkecuali mungkin pada bilangan c sediri, dan jika  ada, maka  = .

Contoh:

Carilah

Penyelesaian:  =  =  =

Teorema D    Teorema Apit (Squeeze Theorem)

Misalkan f, g, dan h adalah fungsi yang memenuhi f(x)  g(x)  h(x) untuk semua x dekat c, terkecuali mungkin pada c.Jika  =  = L.

Contoh:

Asumsikan bahwa kita telah membuktikan bahwa 1 – X²/6  (sin x)/x  1 untuk semua x yang dekat tetapi berlainan dengan 0. Apa yang bisa kita simpulkan tentang  = 1

Penyelesaian: Misalkan f(x) = 1 – x² /6, g(x) = (sin x)/x, dan h(x) = 1. Menyusul bahwa  = 1 =  dan akibatnya, menurut teorema c

= 1

1.2     Pengkajian Mendalam tentang Limit

Mengatakan bahwa  = L bermakna bahwa f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L asalkan x cukup dekat, tetapi tidak sama dengan c.

Nilai Mutlak sebagai Jarak

Pikirkan dua titik a dan b pada garis bilangan. Berapa jarak sebuah kedua titik tersebut? Jika a < b, maka a –  b adalah jarak. Kita dapat gabungkan dua pernyataan ini dengan mengatakan bahwa jarak adalah I b – a I. Tafsiran geometri ini tentang nilai mutlakselisih sebagai jarak antara dua titik pada garis bilangan, penting dalam pemahaman definisi ita tentang limit.

Membuat Definisi yang Presisi   Kita ikuti tradisi dalam menggunakan huruf Yunani epsilon dan delta untuk menggantikan sebarang bilangan-bilangan positif (biasanya kecil).

Definisi  Pengertian Presisi Limit

Mengatakan bahwa  = L berarti bahwa untuk tiap epsilon > 0 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat delta > 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehingga | f(x) – L | < epsilon asalkan bahwa 0 < |x-c| < delta; yakni,

0 < |x-C| < delta    | f(x) – L | < epsilon

 Dua Limit yang Berlainan?

Pertanyaan yang perlu dipertanyakan adalah, “Dapatkah suatu fungsi mempunyai dua limit yang berlainan di c?” Jawab intuitif yang jelas adalah tidak. Jika suatu fungsi menjadi semakin dekat ke L ketika x ~ c, ia tidak dapat menjadi semakin dekat dengan bilangan lain M.

Limit Satu – Sisi  Kita tidak perlu memerlukan banyak imajinasi untuk memberikan definisi epsilon – delta dari aturan limit kanan dan limit kiri.

Definisi  Limit Kanan

Mengatakan  = L berarti bahwa setiap epsilon > 0, terdapat delta > 0 yang berpadanan sedemikian rupa sehingga

0 < x – c < delta    | f(x) – L | < epsilon

 

1.3   Teorema Limit

    Limit Satu – Sisi

Walaupun dinyatakan dalam bentuk limit dua-sisi, Teorema A tetap benar untuk limit kiri maupun limit kanan.

Teorema A    Teorema Limit Utama

Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c. Maka

1.       = k;

2.       = c;

3.      ) + g(x) =  + ;

4.       = ;

5.      – g(x)  - ;

6.       g(x) =   ;

7.      , asalkan   0;

8.       = [ ]ⁿ;

Contoh:

Carilah ⁴

= 2 = 2 [ ⁴ = 2[3]⁴ = 162

Teorema B   Teorema Substitusi

Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka

 = f(c)

Asalkan f(c) terdefinisi. Dalam kasus fungsi rasional, ini bermakna bahwa nilai penyebut pada c tidak nol.

Penghitung Limit “dengan Substitusi”

Ketika kita menerapkan Teorema B, Teorema Substitusi, kita katakana menghitung limit dengan substitusi.  Tidak semua limit dapat dihitung dengan substitusi; tinjau .Teorema substitusi tidak di terapkan di sini karena penyebut adalah 0 ketika x = 1, tetapi limit memang ada.

                

1.4   Limit Mengakibatkan Fungsi Trigonometri

Teorema A   Limit Fungsi Trigonometri

 Untuk setiap bilangan real c didalam daerah asal fungsi,

1.        = sin c

2.       = cos c

3.       = tan c

4.       = cot c

5.       = sec c

6.       = scs c

 Contoh:   Carilah

Penyelesaian:  = ( ) ( ) = 0 . 1 = 0

Dua limit penting yang tidak dapat dihitung dengan cara subtitusi adalah

  dan 

Teorema B   Limit Trigonometri Khusus

1.          = 1                      2.     = 0

Contoh: carilah

Penyelesaian:  =  = 3

1.5   Limit di Tak Terhingga; Limit Tak-Terhingga

Definisi  Limit ketika x   _

Misalkan f terdefinisi pada [_ ) untuk suatu bilangan c. Kita katakana bahwa   = L jika untuk masing-masing epsilon >0 terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian rupa sehingga

X < M   I f(x) – L I < epsilon.

1.6   Kontinuitas Fungsi

Definisi  Kontinuitas di satu titik

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung c. Kita katakana bahwa f kontinu di c jika

 = f(c)

Definisi  Kontinuitas pada Interval

Fungsi f adalah kontinu kanan pada  a jika  = f(a) dan kontinu kiri pada b jika f(x) = f(b).

 

                                                BAB 2

                                             TURUNAN

2.1  Dua Masalah dengan Satu Tema

Garisang  Singgung  Gagasan Euclides tentang garis singgung sebaagai garis yang menyentuh suatu kurva hanya pada satu titik.

Definisi:  Garis Singgung

Garis singgung pada kurva y = f(x) di titik P(c, f(c) ) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan

                                   

Asalkan bahwa limit ada dan bukan ∞ atau -∞.

CONTOH 1:  Carilah kemiringan garis singgung pada kurva f(x) = x² di titik (2,4)

Penyelesaian:  Garis yang kemiringannya terlihat jelas bahwa garis tersebut memounyai kemiringan positif yang besar.

                                               

                                                                =

                                                                 =  

                                                                  =  

                                                                   = 4

Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat

Kecepatan rata-rata adalah jarak dari posisi pertama ke posisi kedau dibagi dangan waktu tempuh.

Defenisi:  Kecepatan Sesaat

Jika benda bergerak di sepanjang garis koordinat dengan fungsi posisi f(t), maka kecepatan sesaat pada saat c adalah

                                                =          

Asalkan bahwa limit ada dan bukan ∞ atau -∞.

Dalam kasus f(t)= 16t², kecepatan sesaat pada t = 1 adalah

                                    v =

                                       =

                                       =

                                           =  (32 + 16h) = 32

2.2  Turunan

Definisi Turunan

Turunan  fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah c adalah

                                    f(c)=

Asalkan bahwa limit ada dan bukan ∞ atau -∞.

Contoh: Jika f(x) = 13x – 6. carilah f’(4).

Penyelesaian:

                        f’(4) =  

                                   = = 13 =13

Bentuk-bentuk Setara untuk Turunan  Tidak ada yang keramat tentang penggunaan huruf h dalam mendefinisikan f’(c). Misalkan,perhatikan bahwa

                                    f’(x) =

                                                =

                                                =            

Teorema A: Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kontinuitas      

Jika f’(c) ada maka f kontinu di c.

Lambang Leibniz untuk Turunan   Misalkan sekarang bahwa variabel tak-bebas y, akan berupa

                                    = f(x + ) - f(x)

Dan hasil bagi

                                                         

2.3  Aturan Pencarian Turunan

Aturan Konstanta dan Pangkat

Teorema A:  Aturan Fungsi Konstanta

Jika f(x) = k, dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f(c) = 0; yakni,

                                                D_x (k) = 0

Bukti:

            f(x) =   =   =  0 = 0

Teorema B:  Aturan Fungsi Satuan

Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1; yakni,

                                    D_x, (x) = 1

Bukti:

                        f’(x) =   =   =  = 1

Teorema C:  Aturan Pangkat

Jika f(x)= xⁿ, dengan n bilangan bulat positif, maka f’(x)= nx^n-1 yakni,

                                                D_x(xⁿ)= nx^n-1

Teorema D:  Aturan Kelipatan Konstanta

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka (kf)’(x) = k . f’(x) yakni,

                                                D_x[k . f(x)] =k . D_xf(x)

Dalam kata-kata, penggali konstanta k dapat dikeluarkan dari operator D_x

Teorema E:  Aturan Jumlah

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f – g)’(x) =f’(x)+ g’(x) yakni,

                                                D_x [f(x) + g(x)] = D_x f(x) + D_x g(x)

Dalam kata-kata, turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan-turunan.

Teorema F:  Aturan Selisih

Jika f dan g adalah fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f – g)’(x) –g’(x) yakni,

                                                D_X[f(x) – g(x)] = D_xf(x) –D_xg(x)

Teorema G:  Aturan Hasil Kali

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka

                                                (f . g)’(x) = f(x)g(x)

Yakni

                                                D_x[(x)g(x)] =f (x)D_xg(x) + g(x)D_xf(X)

2.4  Turunan Fungsi Trigonometri

kita.

Teorema A:

Fungsi f(x) =sin x dan g(X) = cos x keduanya terdiferensiasikan, dan

                                                D_x(sinx) = cos x   D_x(cos x) = - sin x

Contoh:  Carilah D_x (3 sin x – 2 cos x)

Penyelesaian:

                        D_X(3 sin x – 2 cos x) = 3D_x(sin x) – 2D_x(cos x)

                                                         = 3 cos x + 2 sin x

Teorema B:

Untuk semua titik x didalam daerah asal fungsi,

                        D_x tan x = sec² x          D_x cot x = - csc² x

                        D_x sec x = sec c tan x   D_x csc x = - csc x

2.5  Aturan Rantai

Teorema A:  Aturan Rantai

Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposit f . g, yang didefinisikan oleh (f . g)(x) = f(g(x)), adalah terdiferensiasikan di x dan

                                                (f . g)’(x) = f’(g(x))g’(x)

Yakni

                                                D_x(fG(x)) = f’(g(x))g’(x)

Atau

                                               

Penerapan Aturan Rantai   Kita mulai dengan contoh (2x² – 4x + 1)⁶⁰

Contoh:  Jika y = (2x² – 4x + 1)⁶⁰ , carilah d_xy.

                                    Y = u⁶⁰ dan u = 2x² – 4x + 1

Fungsi sebelah luar adalah f(u) = u⁶⁰ dan fungsi sebelah dalam adalah u = g(x) = 2x² – 4x +1. Jadi,

                                    D_xy = D_xf(g(x)

                                           =f(u)g(x)

                                           =(60u⁵⁹)(4x – 4)

                                           =60(2x² – 4x + 1)⁵⁹(4x – 4)

2.6  Turunan Tingkat Tinggi

Karena turunan fungsi nol adalah nol, maka turunan keempat dan semua turunan yang tingkat lebuh tinggi ( higher-order) dari f akan nol.

2.7  Diferensiasi Implisit

Beberapa Kesukaran yang Tak Kentara

Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan fungsi y = f(x) dan jika fingsi ini terdiferensiasikan, maka metode terdiferensiasi implicit akan menghasilkan ekspresi yang benar untuk dy/dx. Tetapi perhatikan terdapat dau “jika” besar dalam pernyataan ini.

        Tinjau persamaan

                                                X² + y² = 25

Yang menentukan fungsi-fungsi y = f(x) = x² dan fungsi y = g(x) = x²

Contoh:  Carilah dy/dx jika x² + 5y³ = x + 9

Penyelesaian:

                                    x² + 5y³) = d/dx(x + 9)

                                        2x + 15y²  = 1

                                                       

Teorema A:  Aturan Pangkat

Misalkan r sebarang bilangan rasional. Maka untuk x  0.

                                                D_x(x^r) = rx^r-1

Jika  r dapat dituliskan dalam suku terendah sebagai r = p/q, di mana q ganjil, maka D_x(x^r)= rx^r-1 untuk semua x.

2.8  Laju yang Berkaitan

Sebagai ganti di ketahuinya y secara eksplisit dalam t, kita mengetahui hubungan yang mengaitkan y dan variabel x dan kita jjuga mengetahui sesuatu tentang dx/dt. Kita maasih tetap mampu mencari dydt , karena dy/dt dan dx/dt adalah laju-laju yang beerkaitan.

2.9  Diferensial dan Aproksimasi

Definisi  Diferensial

Misalkan y =f(x) adalah fungsi terdeferensiasi dari variabel bebas x.                                                      _x adalah pertambahan sbarang dari variabel bebas x dx, disebut diferensial variabel bebas x. _y adalah perubahan sebenarnya dalam variabel y ketika x berubah dari x ke x + _x; yakni y + f(x + ) – f(x). dy, disebut diferensial variabel tak-bebas y, didefenisikan oleh dy = f´(x)dx.

BAB  3                                                                                                                                                        Aplikasi  Turunan                                                       

3.1 Maksimum dan Minimum

Teorema A   Teorema Keberadaan Maks-Min                                                                               Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

Teorema B   Teorema Titik Kritis                                                                                                         Misalkan f didefenisikan pada interval I yang memuat titik c.Jka f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; dngan kata lain, c adalah salah satu dari                                             (i)   titik ujung dari I;                                                                                                                                           (ii)   titik stasioner dari f; yakni titik dimana f´(c) = 0; atau                                                                   (iii)   titik singular dari f; yakni titik dimana f´(c) tidak ada.                                                                                                                      

3.2  Kemonotonan dan Kecekungan

Teorema A  Teorema Kemonotonan                                                                                                             Misalkan f kontinu pada interval I dan terdiferensial pada setiap titik-dalam  dari I.                                                                                                                 (i)     Jika f´(x)  >  0 untuk semua titik-dalam I, maka f naik pada I.                                                                        (ii)    Jika f´(x)  < 0 untuk semua titik-dalam I,maka f turun pada I.

Teorema B  Tearema Kecekungan

Misalkan f terdiferensiasikan dua kali pada interval terbuka I.                                                            (i)  jika f’’(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung keatas pada I.                                                              (ii) jika f’’(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung kebawah pada I.

3.3  Ekstrim Lokal dan Ekstrim pada Interval Terbuka

Teorema A  Uji Turunan Pertama

Misalkan f pada interval terbuka (a,b) yang memuat sebuah titik kritis c.                                             (i) jika f(’x)>0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x)<0 untuk semua x dalam (c,b),maka f(c ) adalah     nilai maksimum local f.

(ii) jika f(’x)<0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x)>0 untuk semua x dalam (c,b),maka f(c ) adalah     nilai minimum local f.                                                                                                                 (iii) jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim local f,

Teorema B  Uji Turunan Kedua

Misalkan f’ dan f” ada pada setiap titik interval terbuku(a,b) yang memuat c, dan misalkan f’(c)= 0.                                                                                                                                                                      (i) jika f”c < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum local f.                                                                               (ii) jika f”c > 0, maka f(c) adalah nilai minimum local f.

3.4  Teorema Nilai Rataan untuk Turunan

Teorema A  Teorema Nilai Rataan untuk Turunan

Jika f kontinu pada interval tertutup (a,b) dan terdiferensiasikan pada titik dalamnya(a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana

                                   

Atau, secara setara, f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)